ちょっと数学の話 「n進数?」 の続きの続き

この文章は素人が自由な発想で考察したものであり、常識・定説・専門家の意見などの世間一般の認識とされるものとは違う場合があります。また、筆者の知識不足や勘違いにより考察が全く意味の無い場合もあることを踏まえた上でお読み下さい。筆者の事実関係の認識が間違っている場合は、指摘していただけるとありがたいです。


私は数学に詳しいわけではありませんので、用語等厳密なものではありません。と同じ前置きしておきます。

「数の表し方はいろいろある。私たちが普段使っているのは十進数だが、それ以外の方法もたくさんある」と、「n進数」の話をしてきました。

ここで、もう一つ固定観念を外したいと思います。この数学の話では、ずっと「n進数」という表現をしてきました。これは「各桁の繰り上がりがnで行われる」という意味でしたが、


各桁の繰り上がりを同じ数にする必然性は実はありません。

「そんな面倒なことをする意味はあるのか」という声が聞こえてきそうですが、意味があるない以前に私たちの身の周りにそういう数字があります。すごく身近なところに。

さて、何だと思いますか?


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そういう数字は実はたくさんあります。一番身近にあるという意味では「時間」がそうなるでしょう。

秒より下は十進数ですが、秒は60、分も60、時間は24で上の単位になります。単位が付いていることであまり意識はしませんが、これは紛れもなく十進数以外の表し方です。しかも複数の進数が混じっています。日数を秒や分に換算しようとしたときに不便な思いをしたことがあるかもしれません。それは十進数以外のもの、しかも複数の進数が混じっているものを十進数に直そうとしたからに他なりません。

時間以外にもいろいろあります。例えば貨幣単位(旧イギリス等)、ヤードポンド法(アメリカ等)等、単位を付けることで十進数以外の進数が使われています。

さて、ここからが本題です。各桁の繰り上がりの数をバラバラにするとどうなるのでしょう?実は私もまだそこまでは考えていません。でも十進数と三進数で偶数の判定が異なったように、違う性質を見せるのは間違いありません。

「七進数だと7の倍数かどうかすぐに分かる」という話をしました。数の表現の仕方をいじることで、素数に関して何か迫れるのではないかという予感がします。

例えばですが、桁の下から順に素数を割り当てるとどうでしょう? 最初は二進数、次は三進数、五進数、七進数……、何が起こるのかは分かりません。でも何かありそうな気がしませんか?他にもフィボナッチ数列を当てはめるのも何かありそうです。もっと単純に自然数を順番にでもいいかもしれません。πの値の一桁ずつを当てはめるのも何かありそうです。

さて、最後に上記のようなことを考えたときに出てくる疑問についてです。ここから先は想像です、私自身もよく分かっていません。n進数を考えたとき2以上は何も問題はありませんが、それより下はどうなるのでしょう?

以前に「ネイピア数」進数を考えたとおり、整数でなくても問題はありません。2未満1より上は問題ないでしょう。では「1」だと?そうなると、その桁の数字は一つ上の桁と同じ意味になります。ということは「その桁は必ず0」となりそうです。一進数なので使う数字は1個と考えるとそれにも矛盾しません。では、それより下は?0.5進数や0進数、-1進数などはどうなるのでしょう?

これ以上は私の数学知識をどうひねっても出てきませんでした。私が知らないだけで、こういうことを考えている数学がもうあるのかもしれません。でも私がそれを学ぶのは手に余るかもしれませんね。

最後の結論がいい加減なことになって申し訳ありません。またいろいろ考察して、何か面白いことがあったら報告いたします。
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