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ちょっと数学の話 「n進数?」 の続き

この文章は素人が自由な発想で考察したものであり、常識・定説・専門家の意見などの世間一般の認識とされるものとは違う場合があります。また、筆者の知識不足や勘違いにより考察が全く意味の無い場合もあることを踏まえた上でお読み下さい。筆者の事実関係の認識が間違っている場合は、指摘していただけるとありがたいです。


私は数学に詳しいわけではありませんので、用語等厳密なものではありません。と、昨日と同じ前置きしておきます。

私たちは普段十進数を使うことが多いので、数を十進数で表したときの様々な特徴をよく知っています。例えばある数が偶数(2で割り切れる)かどうか、聞くまでもないですが下一桁が偶数ならその数全体も偶数です。少し数字に関心のある人なら、3、4、5、6、8、9なども判定法をご存知でしょう。

今、あえて7を抜かしたのは7で割り切れるかどうかの判定法は少し難しいからです。何通りも方法があるそうですが、他の一桁の数字のように簡単には説明できないものばかりです。

でも、ものすごく簡単に7で割り切れるかどうか分かる方法があります。それは「その数を七進数で表してみる」ことです。いや、冗談ではありません。十進数は数の表し方の一つでしかありません。七進数は7で割り切れるかどうかがとても分かりやすい表し方だといえます。

さて、ここで皆さんに一つ問題です。先ほど「十進数で偶数かどうかを判定するのは簡単だ」といいました。ではその他の数の表し方ではどうでしょう?例えば三進数。0から2までしか使わない数の表し方です。三進数で表した数が偶数かどうか、判定するにはどうしたらいいでしょう?


↓ 答えと続きはこちら
三進数の各桁の数字が表すものは、右端から「1(3^0)」「3(3^1)」「9(3^2)」……となります。まとめた言い方をすると「n桁目が表すのは3^(n-1)」ですね。

この3^(n-1)は1に3をいくつか掛けたもの、つまり奇数をいくつか掛けたものとなりすべて奇数となります。

全体が偶数かどうかは各桁の数字を見ることで分かります。0か2ならその桁の数字は偶数となり、判定法に関係なくなります。1の場合は奇数です。1の数がいくつあるか、それが偶数なら全体の数も偶数です。一言でまとめると、


各桁の数字のうち「1」の個数が偶数なら、全体の数は偶数

です。今は三進数についてだけ考えましたが、次のようにすると一般的にできます。

「偶数」進数は下一桁が偶数の場合、全体の数は偶数
「奇数」進数は各桁の数字のうち奇数の個数が偶数なら、全体の数は偶数


このことは自分自身で考えましたが、こういう研究はすでにされていそうですね。数学をもっと勉強してみたいと思うのですが、なかなか時間も体力も付いていきません。

今回で数学の話は一段落にするつもりだったのですが、もう少し考察することが出来たので明日に続きます。
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